problemes de sistemes d'equacions

a) Busca dos nombres que difereixen en 4 unitats sabent que si restem el doble del més gran del triple del més petit el resultat és 4.
b) He pensat dos nombres que hauràs d’endevinar. Només et diré que si sumes 119 al primer obtens el doble del segon i que si restes 22 del segon obtens el triple del primer.
c) Busca dos nombres sabent que la suma és 33 i la diferència, 23.
d) Busca dos nombres que sumen 24 sabent que el doble del primer més el triple del segon és 54.
e) Fa 5 anys, l’edat de la Sònia era el doble de la que tenia en Pau. D’aquí a 8 anys, les edats de tots dos sumaran 56. Quants anys té ara cadascun?
f) Un nen li diu a un amic: “Dóna’m 5 euros i així tindrem els mateixos diners tots dos”. L’amic li respon amb ironia: “Sí, home... Dóna’m tu 10 euros i així jo tindré el doble que tu”. Quants diners té cada amic?

http://www.toomates.net/llistes/algebra/equacions/sistemes_dequacions/problemes_amb_sistemes_dequacions_de_dues_incognites1.doc

RESPOSTA A LA PROPOSTA d) :

Igualació
{x + y = 24 ( y = 24 - x ) · 3 = 3y = 72 - 3x
{2x + 3y = 54 3y = 54 - 2x

72 - 3x = 54 - 2x (= 3y )
x = 72 - 54
x = 18

18 + y = 24
y = 6

x + y = 24 --> 18 + 6 = 24
2x + 3y = 54 --> 2·18 + 3·6 = 36 + 18 = 54

R: Els dos nombres que cercavem eren 18 i 6

RESPOSTA A LA SUBSTITUCIO (C):

Igualació:

Dos nombres cualsevol: x i y
x+y=33 ---> x=33-y
x-y=23
_______________________
Treim el factor y:

(33-y)-y=23
33-2y=23
33-23=2y
2y=10
y=10:2 ; y= 5

Treim el factor x:

x=33-y
x=33-5
x=28

Comprovació:

28+5=33
28-5=23

Resposta:

X=28 y=5

no! és es de substitució.crec.

esquema.

fa 5 anys ara d'aquí 8 anys
pau x-5 x x+8
sònia y-5 y y+8

2(x-5)=y-5 2x-5=y
x+8+y+8=56 x+y=40

SUBSTITUCIÓ
x+2x-5=40
3x=45
x=15

y=2x-5=2·15-5=25


Comprovació
Fa 5 anys, na sònia en tenia el doble que en pau
sònia 25-5=20
pau 15-5=10
d'aquí a 8 anys, sumaran 56
15+8+25+8=56

A. Joan i Robert comenten: Joan: "Si jo et prenc 2 monedes, tindré tantes com tu"
Robert: "Sí, però si jo et prenc 4, llavors tindré 4 vegades més que tu".
Quantes monedes tenen cadascun?

extret de http://www.iestacio.com/deps/mat/PDF/3rESO/Probsistval.pdf

B. paula:"si em dones 3€, tendrem els mateixos."
mateu:" si tu després me'n dónes la meitat podré donar-ne 30 a en marc i 30 a na marta i així en tendrem tots 4 igual."

me l'he inventat seguint l'exemple anterior.

Problema A:

Joan(x)
Robert(y)

--------------------------------------------------------------------------Aïllam x
{x+2=y-2 ----------------------------------------------------> x=y-4
{x-4= (y+4):4 ---------> 4x-16=y+4 ------>4x=y+20 ------> x= (y+20):4

Per igualació:
y-4=(y+20):4
4y-16=y+20
3y-16=20
3y=36
y=12

Una vegada ja saben y, ara trobarem x:
x+2=10
x=8

Comprobació:
{x+2=y-2 ---------> 8+2=12-2
{x-4= (y+4):4 ---------> 8-4=(12+4):4

x+y=24
2x+3y=54

x=-y-24

2(-y-24)+3y=54
-2y-48+3y=54
-2y+3y=54-48
y=6

x+6=24
x=24-6=18
x=18

Encara que la solució és correcta hi ha dues errades molt importants que es contraresten i fan que el resultat sigui "correcte". Has canviat el signe del 24 quan no l'havies de canviar ja que no canvia de membre. Llavors, en canvi, has canviat el 48 de membre sense canviar el signe!

[color=red]Substitució:

X+119=2y
3x=y-22

x=2y-119

3(2y-119)=y-22
6y-357=y-22
5y=335
y=67

cercam la x substituint la y per 67

x=2·67-119

x=15

comprovació
15+119=134=2·67
67-22=45=3·15

Joan Robert
X Y

-4y=-x+4
y-2=x+2


Reducció:
-4y=-x+4
4y-8=8x+2
/-8=7x+6
-6-8=7x
-14=7x
x=2

Cercam la y canviant les x per 2
-4y=2+4
y-2=2+2

a)4y=6
y-2=4

La y es igual a 6 i la x es igual a 2
A la a nose que passa que no em dona com toca i he tret el 6 provant amb monedes de veres

1.Resol els problemes següents mitjançant el plantejament d’un sistema d’equacions:

a)Busca dos nombres que difereixen en 4 unitats sabent que si restem el doble del més gran del triple del més petit el resultat és 4.
b)He pensat dos nombres que hauràs d’endevinar. Només et diré que si sumes 119 al primer obtens el doble del segon i que si restes 22 del segon obtens el triple del primer.
c)Busca dos nombres sabent que la suma és 33 i la diferència, 23.
d)Busca dos nombres que sumen 24 sabent que el doble del primer més el triple del segon és 54.
e)Fa 5 anys, l’edat de la Sònia era el doble de la que tenia en Pau. D’aquí a 8 anys, les edats de tots dos sumaran 56. Quants anys té ara cadascun?
f)Un nen li diu a un amic: “Dóna’m 5 euros i així tindrem els mateixos diners tots dos”. L’amic li respon amb ironia: “Sí, home... Dóna’m tu 10 euros i així jo tindré el doble que tu”. Quants diners té cada amic?

Tret de: http://www.toomates.net/llistes/algebra/equacions/sistemes_dequacions/problemes_amb_sistemes_dequacions_de_dues_incognites1.doc



2.Entre dues classes hi ha 57 alumnes. Si el nombre d’alumnes d’una classe és la meitat que l’altra. Quants alumnes hi ha a cada classe?

Tret de:
http://www.xtec.es/~crivas2/material/exercicis/Exercicis%20ProblemesEquacions_A.doc

Per favor, si proposau problemes nous feis-vo com un apartat nou que aquest s'està fent massa llarg i ens perdrem!